Şahinlerle Güvercinlerin Savaşı*
Şahinlerle güvercinlerin savaşı, 2 ayrı karakter grubunun nüfus değişimini simgeleyecek.
Şahin: saldırgan.
Güvercin: barışçı ve paylaşımcı.
V: elde edilmeye çalışılacak kaynak.
C: maliyet.
| Karşılaşan türler | Kazanma olasığı/tür | Kazananın payı | Maliyet | Kazananın net beklentisi | Her bir karşılaşanın net beklentisi |
| şahin-şahin | 1/2 | V | Var, Var | (V-C) | (V-C)/2, (V-C)/2 |
| güvercin-güvercin | 1 | V/2 | Yok, Yok | V/2 | V/2, V/2 |
| şahin-güvercin | 1, 0 | V, 0 | Yok, Yok | V | V, 0 |
d: Güvercin oranı
(1-d): Şahin oranı
Bu toplulukta bir şahinin başka şahinle karşılaşma olasılığı:
Nüfus: N
Güvercin sayısı: d*N
Şahin sayısı: (1-d)*N
Bir şahinin bu toplulukta bulunma olasılığı: 1/{(1-d)N}
Çünkü o şahin (1-d)*N tane adamdan 1'idir.
Bir şahinin başka şahinle karşılaşma olasılığı: 1- {1/[(1-d)N]} çünkü şahinin kendisini çıkması lazım.
Ama bizim problemimizde kolaylık olsun diye ve nüfusun fazla olduğunu kabul ederek 1 şahinin kendisini topluluktan çıkarmasını ihmal edelim ve bir şahinin başka şahinle karşılaşma olasılığını direk toplumdaki şahin oranı olarak alalım: (1-d)
Şahinin güvercinle karşılaşmasında şahinin kazancı, maliyet olmadığı için d*V ve şahinle
karşılaşmasında maliyet olduğu için (her birinin) kazanç beklentisi
(1-d)(V-C)/2'dir. Bunların toplamı şahinin yaşam beklentisini verir. Güvercin, şahinle
karşılaştığında kazancı (1-d)*0 (yani kaynağın tamamını şahine bırakır),
güvercinle karşılaştığında ise d*V/2'dir (yani maliyet olmadan kaynağı
bölüşürler). Bunların toplamı da güvercinin yaşamdan beklentisini verir.
| Şahinin yaşamdan beklentisi | Güvercinin yaşamdan beklentisi |
| dV+(1-d)(V-C)/2 | dV/2 |
İki türün yaşam beklentilerini karşılaştıralım. Maliyet kazançtan düşük olduğunda (yani V>=C için) şahinin beklentisi güvercininkinden büyük oluyor (aşağıdaki kutucuk). Sonuç olarak aynı ortamda bulunan güvercin ve şahinler için, güvercinlerin sayısı zamanla sürekli azalıyor ve tükenene kadar devam ediyor. Peki bundan sonra şahinleri şahinlerle savaştıralım. Şahin nüfusu tükenmemeli. Ama doğaya bakarsak güvercinler tükendiğinde V kaynağının üretimi sekteye uğrayacak çünkü ekolojik denge bozulacak ve kaynaksızlıktan şahinler de tükenecek.
| V>=C için: | dV+(1-d)(V-C)/2 >= dV/2 |
Ancak ve ancak, V< küçük C için yani şahin-şahin karşılaşmasında maliyetin kazançtan büyük olması durumu için, tamamen şahinlerden oluşan bir nüfusa küçük bir güvercin
topluluğu konduğunda ortalama güvercin kazancı ortalama şahin kazancından
fazladır (yukarıdaki kutucuğa bakarsak eşitsizliğin işareti değişir ve şahin beklentisi küçük güvercin beklentisinden olur). Bu, güvercinlerin çoğalması anlamına gelir. Zamanla d büyür, bu sefer eşitsizliğin sol tarafı baskın hale gelir yani şahinler çoğalmaya başlar.
Bu örnekte döngü başlar, sırasıyla bir tür azalırken diğeri çoğalır, sonra çoğalan azalmaya başlar.
Yani öncekine benzer olarak tamamen güvercinlerden oluşan bir nüfusa küçük bir h oranında şahin topluluğu koyduğumuz durumdur.
Şahin beklentisi (1-h)V+h(V-C)/2, güvercin beklentisi (1-h)V/2+h*0=(1-h)V/2'den büyük olur (h'nin küçüklüğü V'nin küçüklüğünden daha küçük olduğu durum için)
ve şahinlerin çoğalması anlamına gelir.
| (1-h)V+h(V-C)/2 > (1-h)V/2 |
Yani her 2 durumda da iki türün birlikte varlığını sürdürmeye eğilimi vardır. Bir tür,
nüfusu azaldığında tamamen tükenmeden tekrar yükselişe geçmektedir.
*Şahinlerle güvercinler savaşmaz...