Melis Pahalı

Dejenerasyon

Bir operatörün (sistemin konum gibi bir karakteristiğinin ya da S_z gibi spin karakteristiğinin bir doğrultusunun (z bileşeninin)) özdurumları uzayı tarar. Her özduruma karşılık bir özdeğer vardır. Özdeğer ve özdurum, belirli bir sonuca/duruma has ikilidir. Örneğin bir elektronu manyetik alana koyduk ve sapmasını ölçtük. Sapma, elektronun spin durumunu verir. Bir doğrultu seçtik, bu doğrultuya S_z operatörünü karşılık getirdik. S_z'yi elektronun durumuna vurduğumuzda/ölçüm yaptığımızda yukarı giderse "spin-up", aşağı giderse "spin-down" dedik. Spin-up |0> özdurumuna, spin-down |1> özdurumuna karşılık gelsin dedik. Yukarı yön +, aşağı yön -'dir. Elektronun spin açısal momentum değeri olan hbar/2 Joule*saniye ile birlikte |0> özdurumuna karşılık +hbar/2 özdeğer atadık. |1> özdurumuna da -hbar/2 özdeğerini atadık. Belirli operatör için özduruma karşılık unique bir özdeğer vardır. Ancak dejenere durum, özduruma karşılık unique özdeğerin belirlenememesidir. Yani birden fazla eigenvector'un eigenvalue'su ortaktır. Aslında elektronun saptığı yönü görsek özdeğeri atayacağız ancak özdurum/özdeğer ayırdına varılamadığı için dejenere durumları belirlemede birden fazla kuantum sayısı kullanılır.

Klasik laf: Ölçüm yaptığımızda bir özdeğer elde ederiz. Özdeğer ölçüm sonucumuzdur. Sistemin çöktüğü durumsa özdurumdur. (Bence özdurum da özdeğer de aynı duruma işaret eder. Aynı şeyi iki kere söylemek gibi gereksiz.)

Bir dalga fonksiyonunu operatörün özketleri tabanında yazarsak dejenere özketlerin olasılık genlikleri aynı olmak zorunda mıdır: Hayır.

Dejenere özketler, birbirine dik olmak zorunda değiller.

Dejenereliği matris üstünde görelim

Elimizde diagonalize matris olsun. Köşegenler eigenvalue'lardır. Aşağıdaki matriste iki adet lineer bağımsız eigenfunction (baz) dejeneredir, eigenvalue'ları 2'dir:

2 katlı dejenerelik vardır. Dejenere durumlar (1,0,0) ve (0,1,0) dır.

Operatörün eigenfunc.ları ile uzay oluşturuyorsun. You can pop up many spaces by calculating / determining eigenfuncs of different operators. Still there is no wavefunc on them. These are empty spaces without wavefuncs. You put your wavefunc onto any space.

Tam bu noktada: Bir wavefunc'ı aynı anda tüm uzaylarda yazamayabilirsin. Çünkü wavefunc'ı yazmak için ölçtüğünde onu çöktürürsün. Halbuki ölçümden önce wavefunc o durumda olmayabilir. Ve farklı bazda bir wavefunc'ın nasıl davranacağını bilemezsin. Ancak aynı eigenfunc'lara sahip (aynı basis set ile yazılabilen) operatörler eş zamanlı ölçülebilir. Eş zamanlı ölçülmek de commute etmektir.

• A ve B operatörü commute ediyorsa,
• A'nın eigenfunc'ları dejenere değilse,
• Ölçülebilirler (fiziksel sonuç veren op.lar) Hermitseldir. Hermitik op.lar diagonalize edilebiliyordur.
• B de aynı eigenfunc'larla diagonalizedir.
• Yani A diagonalken B de diagonaldir (köşegendir). Yani özdeğerleri aynıdır.
• Çünkü diagonal elemanlar özdeğerlerdir.
• Dejenere olma ve Commute et

Her observable, diagonal matrix olabilecek bir bazda yazılabilir. Aynı observable'ın diagonal bazda yazmak kanonik formda yazmaktır. Diagonal ve diagonal olmayan bazlar arasındaki dönüşüm kanonik dönüşüm mü oluyor dolayısıyla? Bu observable konum operatörüyse x-uzayında ifade etmekten p-uzayında ifade etmeye geçmek gibi mi oluyor? Buradaki baz setinin cinsini değiştirmek: x'ten p'ye.

Ayrıca grup teorisinde diagonalize etmekle ilgili vardı bir şeyler...

Komüte eden operatörler 2 çeşit

Komüte eden operatörler, aynı parçacığın üzerinde aynı anda ölçülebilen operatörler olabilir ya da farklı parçacıklar üzerinde işlem yapan operatörler olabilir.

\([S^2,S_z]=0.\) \(S^2\) ve \(S_z\) operatörleri aynı parçacığın spin uzayı üzerinde ölçüm yapıyor.

\([S^2_1,S^2_2]=0\) Sırasıyla 1. ve 2. parçacık üzerinde işlem/ölçüm yapıyorlar.

Birincisinde uzayı tam tanımladık, dejenereliği kaldırdık (\(\sum_i{\ket{n l m}_i}{\bra{n l m}_i}=\mathbb{I}\) tam cümle, yani her şeyi \(S^2\) ve \(S_z\)'nin eş zamanlı özdurumlarıyla (\(\ket{n l m}\)'lerle) ifade edebilirsin). İkincisinde \(S^2_1\) ve \(S^2_2\)'nin işlem yapacağı bir uzay tanımladık. Dış çarpımla uzayı büyüttük. Her iki durumda da elimizde 1 adet uzay var diye düşünebiliriz. Yani komüte eden operatörler, ya aynı parçacık üzerinde aynı anda ölçülebilen büyüklüklerdir ya da tamamen farklı uzaylardaki operatörlerdir.

İzdüşürmek, eş olmayan uzaylar arasında yapılamaz. Bizim uzaya eş uzay, U dönüşüm matrisiyle benzerlik dönüşümü yapılarak yaratılan yeni uzaydır. Benzerlik dönüşümü, bizim uzayı geren her baz için (yeni) eş baz yaratmalıdır. Boyut kaybı olmaması gerekir, eş uzaylar aynı boyuta sahiptir. Örneğin biri 2D biri 3D olamaz.

2 eş uzay arasında dönüşüme uğrayacak matris (yani iki eş uzayda da aynı özdeğeri verecek matris - zaten özdeğerler uzay seçiminden bağımsızdır dedik) (yani sistemin ötelemeler ya da dönmeler altında korunan büyüklüğü) 3x3'lükse eş matris de 3x3'lük olmalıdır.

Spin uzayındaki S_x+, S_x- uzayından S_y+, S_y- uzayına veya S_z+, S_z- uzayına dönüşümler benzerlik matrisiyle yapılır. Bu uzaylar birbirlerine göre 90 derece döndürülmüş uzaylardır. Eş uzay; döndürme, öteleme ile yapılıyor.

3 boyutlu bir durum üzerine 2 boyutlu spin uzayını izdüşüremezsin. Önce durumunu spin uzayında yazarsın, ardından spin operatörünün eigenfunc.larını izdüşürürsün, böylece neyden ne kadar var görürsün (spin op.unun eigenvalue'larından bizim durumda ne olasılıkla var görürsün).

Sx, Sy, Sz spin operatörlerinin yanlarına i, j, k birim vektörlerini koyarak S vektörünü elde edebilirsin (S=S_xi+S_yj+S_zk). Çünkü Sx operatörü x doğrultusundaki nesne üzerinde işlem yapan operatördür, bunu vektörleştirebilirsin. Operatör bir matristir, matris denklemler setidir, set çözülerek bir vektör olabilir. Biz denklem setini çözmeden vektörleştirip işleme sokuyoruz.

Üniter Benzerlik Dönüşüm (Unitary Similarity Transformation) (Unitary Transformation)

Üniter benzerlik dönüşüm formülü ile yapılır.

• X eski uzaydaki hareket sabiti (örneğin Hamilton).
• X': yeni uzaydaki aynı büyüklük.
• X matrisi U ile dönüşüyor, uzayın baz vektörleri de aynı U ile dönüşüyor.
• U üniter bir operatör. In QM a unitary operator is associated with an operation like translation or rotation. U has become a symmetry operator.
• X'in üniter olarak eşdeğer işlemcisi X' 'dır.
• Üniter olarak eşdeğer işlemcilerin spektrumu (özdeğerler cümlesi) aynıdır. Zaten özdeğerler uzay seçiminden bağımsızdır dedik.
• Üniterlik: UU⁺=U⁺U=1. Üniterlik tersinirlikle ilgili. UU⁺ yaptın mı gittin geldin demektir. Ya da periyodik bir hareket var gibi. Group theory'deki cyclic group gibi. Bu arada Quantum Fourier Transformation'da da bir cyclic'lik var: Go to QFT page Tersinir: invertible or reversible
• Hermitlik: p=p⁺=p^-1

Örnek: 2 tane boson türünde identical particle düşün. Initial position ve final position'ları olsun. Initial'dan final'a gelirkenki trajectory'lerini çıkaramadığımız için (Bunun sebebi enstrument hassaslığının düşük olması değil işin doğasının bu olmasıdır. Sanırım parçacıklar multiverse'de hareket ettikleri için sadece universe'te ölçüm yapan bir aletle ölçüm yaptığımızdan teşhis edemiyor değiliz. Yani bir gün multiverse'te ölçüm yapan enstruments geliştirilebilirse trajectory çıkaramayabiliriz. Sanırım parçacıklar gözlenmediğinde tüm durumlarda birden oluyorlar. Zaten multiverse'te ölçüm yaptığında tüm durumları tek bir zaman için elde edersin. Aynı t anı için bu universe'te bu değeri alıyor, şu universe'te şu değeri alıyor dersin sanırım. Bunu demek trajectory çıkarmak olabilir de olmayabilir de. Trajectory'nin tanımı değişebilir bu durumda.) hangi particle hangi final position'a geldi bilemiyoruz. Bunların H'si simetriktir (Hamilton hareket sabiti). Parçacıkların final konumlarını değiştirmek 2 eş uzaydan bahsetmektir.

2 özdeş parçacık fermion olsaydı final konumlarının değiştirilmesi altında dalga fonksiyonları antisimetrik olurdu. Yine "Hamiltonian is invariant under interchange of particles." der miydik? Go to Permutation Symmetry for Identical Particles

Gelelim U'nun eldesine

Yukarıdaki formül diyor ki simetri operasyonları (S) (öteleme/dönme operasyonları), identity transformation'dan (\(\mathbb{I}\)'dan) sonsuz küçük derecede değişimle tanımlanır. \(\varepsilon\): sonsuz küçük öteleme (S, bu parametreye bağlı). G: Simetri operasyonunun hermitik jeneratörü (hermitian generator). And if H (Hamiltonian) is invariant under S (H, S dönüşümü altında invariant'sa):

Simetri/dönüşüm operatörünün ötelemelerdeki karşılığı:

Burada momentum, ötelemenin jeneratörü. Infinitesimal transformation'dan finite transformation'a geçiş.

Üniter Benzerlik Dönüşümüne Örnek

Özdeğer problemi, bir matrisi diagonalleştirerek özdeğerlerinin diagonalde bulunduğu formu elde etmektir. Bu da matrise karşılık gelen büyüklük için eş uzay yaratmaktır. Eigenvalue probleminin çözümü buradan çıkmıştır.

Bu eigendecomposition of matrix'tir.

Benzerlik Dönüşümü (Similarity Transformation) (Nonunitary Transformation)

In this case, the transformation operator is not unitary.

Gram-Schmidt Transformation (Nonunitary Transformation)

In this case, an operator which is written in nonorthogonal basis is transformed to the representation in orthonormal basis. Upper or lower triangular matrices are the results of this transformation.

Nonorthogonal basis \(\longrightarrow\) orthonormal basis

Simetri operatörü ile sistemin korunan büyüklüğü komüte ediyor. (Simetri operatörü: dönme veya öteleme. Üniter bir işlem. Yani ket'in boyunu değiştirmeyen bir işlem. Üniterliğin sebebi, etkidiği ketin boyunu değiştirmemek. \(U \ket{\alpha}\) iken \(\bra{\alpha}U^\dagger U\ket{\alpha}=\braket{\alpha}{\alpha}\) olsun. \(\Rightarrow U^\dagger U=\mathbb{I}\) )

\(S^\dagger HS = H \hspace{1cm} \Longrightarrow \hspace{1cm} HS=SH \hspace{1cm} \Longrightarrow \hspace{1cm} [S,H]=0\) Komütasyonu sıfır.

Parite altında konum operatörü X, eksilisine gidiyor.

\(\Pi^\dagger X\Pi=-X \hspace{1cm} \Longrightarrow \hspace{1cm} X \Pi=-\Pi X \hspace{1cm} \Longrightarrow \hspace{1cm} {\Pi,X}=0\) Antikomütasyonu sıfır.

Tek parite varsa antikomütasyon var, çift parite varsa komütasyon var.

Simetri operatörü olarak dönme operatörünü (D(R)) alalım (D(R): Klasik olarak R dönmesine karşılık gelen işlemci). Sistem Hamilton ile verilsin. Sisteme dönme operatörünü uygulayalım.

\(H \ket{n}=E_{n}\ket{n} \\ SH\ket{n}=S E_{n} \ket{n}=E_{n}(S\ket{n})=H(S\ket{n})\) Demek ki \(E_{n}\) hem \(\ket{n}\)'nin hem \(S\ket{n}\)'nin enerjisi. \(\ket{n}, S\ket{n}\) birbirine dik, ortogonal, lineer bağımsız özdurumlar. Çünkü \( S\ket{n}\) aslında farklı m değerine karşılık gelen durumdur. D(R), belirli j değeri için m'ler arasında döner, m'ler arasında geçiş yapar. Ama enerji m'lerden bağımsızdır, hatta j'lerden bağımsızdır, n'lere bağlıdır.

Döndürmek bir vektöre faz eklemek ile ilişkili. Döndürmek fiziksel ölçümün sonucunu değiştirmez.
\(\ket{\alpha} \rightarrow e^{i \theta}\ket{\alpha} \\ e^{i \theta}\): faz faktörü

Bilmiyorum: Dalga fonksiyonu ışındır. Bir yönü vardır. Eksi ile çarpmak yönünü değiştirir. Kompleks sayı ile çarpmak döndürmez, reel bir sayı ile çarpmak boyunu değiştirir. (?)

SANIRIM: Quantum number'lar orbital'leri niteler. s,p,d,f diye gittikçe uyarılmışlık artmaz, quantum number arttıkça uyarılmışlık artar. Örneğin n'ler 0'dan başlasın; n=0 ground state, n=1 1.uyarılmış durum (first excited state), n=2 2.uyarılmış durum. Örneğin s ve p orbitalleri aynı uyarılmış durumda bulunabilir. Basis'lar o kuantum durumundaki elektronun wavefunc'ının belirlenmesi için olan bilinmeyen parametrelerdir. Basis set, parametre seti. Uzay dediğimiz şey, bir baz seti cinsi (bu setin döndürülmüş halleri farklı uzay oluşturmaz ama. Yani bir operatörün diagonal ve nondiagonal halleri aynı uzaydır.

Density matrix'te pure state'in ortalaması (trace'i) 1, mixed state'in 1'den küçük. Ama operatörün beklenen değerinin 1'den küçük veya eşit gibi bir sınırı yok. Pure state'in density matrix'inin eigenvalue'ları toplamı 1'e eşittir. Bu toplam, trace almaktır. Operatörün eigenvalue'ları çaprazlayan bazda diagonalde bulunur ama eigenvalue'ların toplamı (operatörün ortalaması) 1 ile kısıtlı değil. Op.un beklenen değeri bir sistem üstünde ölçüm yapılarak bulunur ama eigenvalue'ların toplamı için baza ya da sisteme ihtiyaç yoktur. Burada sorun yok ama eigenvalue'ları ister baz setine yerleştir topla ister yerleştirmeden topla.

Photon polarization degrees of freedom

Fotonu biz hazırlamadıysak polarizasyon tipini (linear, circular, elliptical polarization) ölçmeden bilemeyiz. Fotonun polarizasyon serbestlik derecesi, polarizasyon tipi ne olursa olsun boş uzayda 2'dir.

Fotonun boş uzayda polarizasyon serbestlik derecesi sayısı 2'dir: u ve v. Bu 2 bileşen şuradan gelir:

• \(\vec{\nabla}\times\vec{A}=\vec{B}\)
• \(\vec{A}=\vec{A}(A_x,A_y,A_z)\)
• \(\vec{A}\) 3 bileşene sahip.

Ama boş uzayda dalganın ilerleme yönünde (\(\hat{k}\)) alan yok, dolayısıyla vektör potansiyel alanı da yok: \(A_z=0\). Dolayısıyla 3 boyuttan 2 boyuta iner.

Polarizasyon, dalganın elektrik alan vektörünün doğrultusundadır. \(\vec{E}\times\vec{B}=\hat{k}\) .\(\vec{E}\)'nin 3 değil 2 bileşeni vardır: u, v. Kaynak noktamız \(\vec{A}\) olduğu için 2 bileşenin kaynağını \(\vec{A}\)'ya bağladık.

\(\vec{B}\), \(\vec{A}\)'nın curl'üne eşit. \(\vec{B}\) de \(\vec{A}\) da rotasyon hareketi yapıyor. Circular ve elliptical polarization'da \(\vec{B}\) döner, linear polarization'da dönme hareketi yapmaz. O zaman \(\vec{B}\)'nin \(\vec{A}\)'ya bağımlılığı nasıl olur?

Composite system, birden fazla sistemin birleşimi demektir. Yöntem olarak subsystem'lerin tensor product'ı ile yazılır ancak individual subsystem'lere ayrılabilir şekilde yazılabiliyorsa composite sistemin separable'dır, ayrı sistemleri tek başlarına ifade edemiyorsan composite sistemin entangled state'tedir.

An optical component is said to be linear if its output modes are a linear combination of its input modes. Yaratma, yok etme operatörleri cinsinden gösterelim. Aşağıda a_k⁺ girdi modları, b_j⁺ çıktı modu.

Soru: Genişliği 0'dan a'ya kadar olan bir potansiyel kuyusunda bulunan 2 adet spin-\(\frac{1}{2}\) parçacığının (bunlar elektron olsun) taban durumu ve uyarılmış durum dalga fonksiyonları ve enerjileri nedir?

Yanıt: Harmonik osilatörün enerji seviyeleri n=0'dan başlar ancak burada n=1'den başlayacak.

Potansiyel kuyusundaki bir elektronun konumuna ait dalga fonksiyonu \(\psi=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin{\frac{n \pi x}{a}}\)'dır. Dolayısıyla 2 elektron taban durumundayken konuma ait dalga fonksiyonları \(\psi_{taban}=\frac{2}{a}\sin{\frac{n_{1} \pi x_{1}}{a}}\sin{\frac{n_{2} \pi x_{2}}{a}}\) olup \(n_{1}\) 1.elektronun bulunduğu enerji seviyesi, \(n_{2}\) 2.elektronun enerji seviyesidir. İki elektron taban durumunda iken \(n_{1}=1\), \(n_{2}=1\)'dir. Toplam dalga fonksiyonunu konum ve spinör şeklinde yazalım. Elektronlar Fermi-Dirac istatistiğine tabi olduklarından toplam dalga fonksiyonları antisimetrik olmalıdır. Konuma ait dalga fonksiyonu, \(\psi_{taban}=\frac{2}{a}\sin{\frac{\pi x_{1}}{a}}\sin{\frac{\pi x_{2}}{a}}\), simetrik olduğundan spinörleri (spin vektörleri) antisimetrik yani singlet durumunda olmalıdır.

\(\psi_{taban}=\frac{2}{a}\sin{\frac{\pi x_{1}}{a}}\sin{\frac{\pi x_{2}}{a}}\otimes\ket{00} \\ E_{n_{1},n_{2}}=\frac{(n_{1}^2+n_{2}^2)\pi^2\hbar^2}{2ma^2} \\E_{taban}=\frac{(1^2+1^2)\pi^2\hbar^2}{2ma^2} \)

\(\psi_{uyarılmış}=\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{2}{a}(\sin{\frac{\pi x_{1}}{a}}\sin{\frac{2 \pi x_{2}}{a}}-\sin{\frac{2 \pi x_{1}}{a}}\sin{\frac{\pi x_{2}}{a}})\otimes(triplet'lerden biri) \\ (n_{1}=1, n_{2}=2 + n_{1}=2, n_{2}=1) \) veya \(\psi_{uyarılmış}=\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{2}{a}(\sin{\frac{\pi x_{1}}{a}}\sin{\frac{2 \pi x_{2}}{a}}+\sin{\frac{2 \pi x_{1}}{a}}\sin{\frac{\pi x_{2}}{a}})\otimes(singlet) \\ E_{uyarılmış}=\frac{(1^2+2^2)\pi^2 \hbar^2}{2ma^2}\)

Uyarılmış dalga fonksiyonunda konum fonksiyonu antisimetrikse spinör simetrik; simetrikse antisimetrik. Bir de yukarıda spatial wavefunction'da toplama veya çıkarma yapıyoruz ya onun sebebi parçacıkların özdeş olması, antisimetrik overall dalga fonksiyonu özelliği gösterecek olması. Öyle olmasaydı tek tek parçacıkların spatial dalga fonksiyonlarını ve spinörlerini dış çarpımla çarpardık.

Infinite Square Well / Potential Well

Infinite square well has a certain length \(a\), the well is defined in-between \(x=[0,a]\). The walls of the well are represented by a potential energy. The potential energy, shortly the potential, \(V(x)\) is time-independent. There is an electron inside the well.

By solving Schrödinger wave equation
\(i\hbar \frac{\partial\psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}+V(x)\psi(x,t)\)
for the length of the well and for \(V(x)\), we can obtain \(\psi(x,t)\) of the electron. The method of separation of variables: \(\psi(x,t)=\psi(x)T(t)\). We focus to find \(\phi(x)\).

Time independent Schrödinger equation (TISE): \(\phi''+(\frac{2mE}{\hbar^2})\phi=0\). NOTE: the coeff. of \(\phi\) is constant.

The solution of the differential equation (DE) is, in general, a linear combination of even and odd functions: \(\phi(x)=A\sin{(kx)}+B\cos{(kx)}\)

By applying boundary conditions (BC), we find a more specific solution (\(\phi_n(x)=A\sin{(\frac{n\pi x}{a})}\)).

By using normalization condition, we find the coefficient (\(A=\sqrt{\frac{2}{a}}\)).

Symmetric Infinite Square Well

By shifting the well from \(x=[0,a]\) to \(x=[-\frac{a}{2},\frac{a}{2}]\) the solution becomes either
\(\phi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin{(\frac{n\pi x}{a})}\) with \(n=2,4,6...\)
or
\(\phi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\cos{(\frac{n\pi x}{a})}\) with \(n=1,3,5...\).
Namely, we obtain alternating even and odd solutions.

Harmonic Oscillator / Harmonic Potential Well

There is a mass connected to a spring. All the movement is in x direction (parallel to the ground). In equilibrium, \(m\) is at \(x=0\).

Total energy of the mass: Kinetic energy and potential energy caused by the spring (\(V(x)=\frac{1}{2}kx^2=\frac{1}{2}m\omega_c^2 x^2\)).

Solve TISE for \(V(x)\).

\(-\frac{d^2\phi}{dx^2}+\Big(\frac{2mE}{\hbar^2}-\frac{m^2\omega_c^2}{\hbar^2}x^2\Big)\phi(x)=0\)

The coef. of \(\phi\) is not constant. We cannot solve the DE as we did in previous section. We should use the method of power series. First, we need to make the DE dimensionless/unitless: \(q\equiv\beta x\)
\([x]=m\) \([\beta]=m^{-1}\)

\(\frac{d^2\phi}{dq^2}+\Big(\frac{2mE}{\hbar^2\beta^2}-\frac{m^2\omega_c^2}{\hbar^2\beta^4}q^2\Big)\phi(q)=0\)

1. We equalize the coef. of \(q^2\) to 1. \(q^2\)'nin katsayısını 1'e eşitliyoruz. Because we want a \(\beta\) that makes the coef. of \(q^2\) is 1. \(q^2\)'nin katsayısını 1 yapacak bir \(\beta\) sayısı istiyoruz.
2. For simplicity, we make \(\epsilon=\frac{2mE}{\hbar^2\beta^2}\). Sadelik için o ifadeye \(\epsilon\) dedik. \(\epsilon\) is dimensionless and it refers to energy.

BC makes \(\phi\) to take its form. So the solution of this equation becomes \(\phi(q)\approx h(q)e^{-\frac{q^2}{2}}\).

When you plug \(\phi\) into the previous equation, you obtain Hermite differential equations. Its solutions are Hermite polynomials \(H_n(q)\).

So the solution of that equation becomes \(\phi_n(x)=C_n H_n(\beta x) e^{-\frac{\beta^2x^2}{2}}\).

• \(C_n\): normalization constant
• \(H_n(\beta x)\): Hermite polynomials
• \(e^{-\frac{\beta^2x^2}{2}}\): Gaussian function.

Optical Cavity

A photon between 2 reflective mirrors has standing-wave modes of electromagnetic field.

Cavity having spherical mirrors outputs Gaussian function (Gaussian beam).

I suppose a deflection from perfect spherical mirrors or depending on the length between the mirrors cause to deviate from (depart from) pure Gaussian function. And we start to obtain higher-order modes. The beam will be Hermite polynomials. The beam will be Hermite-Gaussian beam.

In symmetric potentials, generally, in quantum mechanics the wavefunction of the field/particle (in classical electromagnetism the solution of the beam (namely TEMmn modes)) constitute from Hermite polynomials and Gaussian function. When we have zero-order Hermite polynomial (\(H_0(q)=1\)), we should obtain pure Gaussian function. In case of higher-order modes, we start to deviate from pure Gaussian function and start to obtain Hermite polynomials.

Harmonic oscillator is symmetric about x=0 above. Symmetric potential well is symmetric about x=0 above. Optical cavity represents symmetric potential energy with 2 mirrors, so we work with even-odd functions (Hermite polynomials).