Generalized Bell states nasıl yaratıldı?


2 kübit bazları 00, 01, 10, 11'dir. 4 kübitlik bir baz yaratalım. Keyfi olarak (00 00+01 01+10 10+11 11) olacak şekilde tensör çarpımı yapalım. Bu bizim başlangıç state'imiz olsun (adı g1). Bu dolanıktır. Uzayın boyut sayısı (baz sayısı) 24=16 olmalı. (Her kübit 2 boyutlu: spin-up ve spin-down'ı temsilen.)

Buna dik state'ler yazalım. g1 içinde 4 tane terim var. g1 ile birlikte 4 state yazabiliriz ki elemanları birbirine eşit, fazları farklı. g2'yi yazarken 4 elemanın 2'sinin fazı (+), 2'sinin fazı (-) olmalı ki g1 ile g2'nin inner product'ı sıfır versin (birbirine dik durumlar olsun). Bu şekilde (-)'lerin yerini değiştirerek 3 state oluşturduk. Bu bir grup olsun, elemanları aynı, faz değişikliğiyle diklik yarattığımız.

İkinci grubu oluşturmak için 4 kübitten birinin değerini değiştirmeliyiz. g1'in elemanlarının 4. bileşenlerinin değeri değişti: g5. Yine faz değiştirerek g5'e dik 3 state daha yazarız.

Özellikler

  • Group 1, başlangıç grubu. (g1, g2, g3, g4)
  • Group 2, 4.kübitin değeri değiştirilerek oluşturulmuş. (g5, g6, g7, g8)
  • Group 3, 3.kübitin değeri değiştirilerek oluşturulmuş. (g9, g10, g11, g12)
  • 2.kübitin değeri değiştirilerek oluşturulmuş grup, Group 2'ye eşit.
  • 1.kübitin değeri değiştirilerek oluşturulmuş grup, Group 3'ye eşit.
  • 2 ile 4'ün değişimi aynı etkiyi yapıyor. 1 ve 3'ün değişimi aynı etkiyi yapıyor. Bu en başta g1 state'ini oluşturma yöntemimizle alakalı. Çünkü 1. ile 3. kübit bir anlamda simetrik, 2. ile 4.kübit bir anlamda simetrik. Yani 1. ile 3. eleman aynı şey.
  • g1'den g12'ye kadar olan state'lere dik başka state'ler oluşturmak için 2 kübit değeri değiştirmeye gidelim. 1 ve 2 ya da 3 ve 4 olmalı. Ancak zaten (1 ve 2) = (3 ve 4)'tür.
  • Başlangıç olarak g1 ifadesini yazıyorsan bu 16 baz dışında g1'i içeren başka baz seti oluşturamazsın. Ancak g1'i oluşturma yönteminden farklı bir yöntemle, oluşturduğun başlangıç state'ini içeren farklı bir baz seti oluşturabilirsin.
  • 16'nın üzerine çıkamayacağın için bu bazlar bir baz seti oluşturu ve uzayı gerer.
  • Ayrıca bu örneğe özel, bunlara "Generalized Bell states" denmesinin sebebi 4 adet Bell state'in 2'şerli çarpımları şeklinde yazılabilmesidir. Temel bir şeyi "generalized" yapan şey, birim ölçünün diğer birim'lerle tensör çarpımıdır (dış çarpımı) (uzayı büyütüyorsun).

Additionally, G states decomposition in two Bell states as:

where